$\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN 1999-10-13\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
$x=-1$ och $x=-3$ ($\vert a+b\vert$ är avståndet mellan $\,a\,$ och $\,-b$)

2.
$\{x\in R\vert x>1\,\,$ eller$\,\,\,x<-1\}$ Vi godkänner $x^2>1.$

3.
-2

4.
2

5.
2/3

6.
1

7.
1

8.
$-4\frac{1}{x^5}$

9.
$\frac{1}{2}(1+\sin x)^{-1/2}\cos x$

10.
$-2\sin x\cos x$ eller $-\sin 2x$

11.
$y'=-\frac{y}{x+2y}$

12.
2

13.
$-\frac{1}{x}$

14.
0

15.
0

16.
$\frac{\pi}{2}$

17.
$ \frac{1}{2}$

18.
$\frac{2x}{1+x^4}$

19.
$\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\frac{1}{\sqrt{x}}$

20.
$\frac{1}{a}$ eller $a^{-1}$
8 problem till vilka fullständiga lösningar ska redovisas.
SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
$y-2=\frac{1}{3}\frac{1}{8^{2/3}}(x-8 )$ som kan förenklas till $x-12y+16=0.$

2.
Kurvan $\,y=\vert x+2\vert$ är inte differentierbar i $x=-2$. Här har funktionen olika värden på höger- och vänsterderivatorna, nämligen +1 respektive -1.

3.
Olikheten kan skrivas

\begin{displaymath}\frac{2}{(x-1)(x+1)}<0.\end{displaymath}

Uttrycket är $>0$ för $x>1$ och växlar tecken vid $x=+1\,$ och $\,x=-1.$ Alltså gäller olikheten för $-1<x<1.$

4.
Funktionen blir kontinuerlig i $\,x=0\,$ för $\,a=1.$ Utnyttja att $\,\cos 2x\,$ och $\,x+a\,$ är kontinuerliga i origo så $\lim_{x\to 0-}\cos 2x = \cos 0 =1\,$ och $\lim_{x\to 0+}(x+a)=a.$ Då båda dessa gränsvärden är 1 är alltså $\lim_{x\to 0}f(x)=1\,$ som ska vara $=f(0)=\cos 0=1.$

5.
Låt tangeringspunkten vara $\,P=\,(a,a^2)\,$ där $\,a\,$ ska bestämmas. Tangenten genom $\,P\,$ har lutningen $y'(a)=2a$ och tangenten i $\,P\,$ genom $\,(3,5)\,$ till kurvan har ekvationen $y-5=2a(x-3).$ Villkoret för att tangenten ska gå genom $\,P\,$ är att $a^2-5=2a(a-3).$ Ur denna ekvation finner man $\,a=5\,$ och $\,a=1\,$ och tangenternas ekvationer blir $y-5=10(x-3)\,$ respektive $y-5=2(x-3).$

6.
$x=\frac{1}{2}(y-\frac{1}{y})$ ger att vi ska lösa $\,y^2-2xy-1=0\,$ som ger $\,y=x\pm\sqrt{x^2+1}.$ $y>0$ ger att vi får endast fallet $\,y=x+\sqrt{x^2+1}.$ Definitionsmängden är alla reella tal $\,x.$

7.
$\,f\,$ 1-1 $ f'(x)>0$ för $x<0$ och $ f'(x)>0$ för $x>0$ ger att varje gren är 1-1 och eftersom funktionen är kontinuerlig i $x=0$ är $\,f\,$ 1-1 på hela sitt definitionsområde $-\infty<x<0,\,\,0<x<\infty.$ Rita figur.

\begin{displaymath}f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{rrr} \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}, \,\,&x< 1\\ x-1,\,\, x>1\end{array}\right.\end{displaymath}

$f^{-1}(x)\,$ har definitionsmängden $\,\{x\in R\vert-\infty<x<1,\,\,1<x<\infty\}.$

8.

\begin{displaymath}f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3\ln\vert x\vert}{x}=0.\end{displaymath}

$f'(x)=3x^2\ln\vert x\vert+x^3\frac{1}{x}=3x^2\ln\vert x\vert+x^2,\,\, x\ne 0.$ OBS! $(\ln\vert x\vert)'=\frac{1}{x},\,\,x\ne 0.$


\begin{displaymath}f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x^2\ln\vert x\vert+x^2}{x}=0.\end{displaymath}


Till deltentan Tillbaka till Analys MN1