$\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ... Erlandsson, L-Å Lindahl \\ B Ivarsson, Y Ameur, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN 2000-10-13\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
$x=0$ och $x=-2$

2.
0

3.
$\pi/6$

4.
4

5.
-1

6.
1/2

7.
-1

8.
-1

9.
$-(\sin x)^{-2}\cos x$= $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

10.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

11.
$-\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$

12.
$\frac{1}{2(1+x)}\frac{1}{\sqrt{x}}$

13.
$\frac{1}{2}(1+\ln x)^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{x}$= $ \frac{1}{2x\sqrt{1+\ln x}}$

14.
0

15.
0

16.
1

17.
$x>1$

18.
$x>1$

19.
$x\ge 1$ och $x\le -1$

20.
$x+1$
4 problem till vilka fullständiga lösningar ska redovisas.
SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
Tangentens ekvation är $y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2 ).$ Skärningen med $y$-axeln fås då $x=0$ som ger $y=1.$

2.
Ändpunkter saknas så lokala extrempunkter söks i singulära punkter och kritiska punkter. $x=0$ är singulär punkt ty funktionen är inte ens kontinuerlig där då $\lim_{x\to 0-}f(x)=1$ och $\lim_{x\to 0+}f(x)=0.$ $f(x)=x+1<1 $ då $x<0$ och $f(x)=-x<0<1$ för $x>0$ så $x=0$ är en lokal maximipunkt. $x=1$ är en singulär punkt ty $f'_{-}(1)=-1$ och $f'_{+}(1)=1$. $f(x)=-x>-1$ om $x<1$ och $f(x)=x-2>-1$ om $x>1$ så $x=1$ är en lokal minimipunkt.

3.
Låt tangeringspunkten vara $\,P=\,(a,\sqrt{a^2-1})\,$ där $\,a\,$ ska bestämmas. Tangenten genom $\,P\,$ har lutningen $y'(a)=\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}$ och tangenten i $\,P\,$ genom $\,(\frac{1}{2},0)\,$ till kurvan har ekvationen $y-0=\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}(x-\frac{1}{2}).$ Villkoret för att tangenten ska gå genom $\,P=\,(a,\sqrt{a^2-1})\,$ är att $\sqrt{a^2-1}=\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}(a-\frac{1}{2}).$ Ur denna ekvation finner man $\,a=2\,$ och tangentens ekvation blir $y=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})\,$ som kan skrivas $x-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,y-\frac{1}{2}=0.$

4.
$g(x)=1+x$ är växande för $x<0$. $h(x)=1+\frac{1}{1+x}$ är avtagande för $x>0$ då $h'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}<0.$ Varje horisontell linje skär alltså grafen av $g(x)$ i högst en punkt och grafen av $h(x)$ i högst en punkt. Eftersom $\lim_{x\to 0-}g(x)=1$ och $h(x)=1+\frac{1}{1+x}>1$ för alla $x>0$ finns ingen horisontell linje som skär båda graferna samtidigt. $f(x)$ är alltså 1-1. Inversen $f^{-1}$ är funktionen

\begin{displaymath}f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{lll} x-1, &x<1\\ \frac{1}{x-1}-1, &1<x\le 2\end{array}\right.\end{displaymath}


Till tentan Tillbaka till Analys MN1