$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...versitet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T Erlandsson \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN 2003-10-13\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

$2$

2.

$0$

3.

$12$

4.

$\frac{2\cos x}{\sin x}$

5.

$\frac{2x}{1+x^4}$

6.

$-\frac{1}{\ln^2\vert x\vert}\cdot\frac{1}{x}$

7.

$0$

8.

$0$

9.

$0$

10.

$x>\frac{1}{e}$

11.

$0\le x<\frac{\pi}{2}$

12.

$\sqrt{1-x}$

13.

$y=e^{-x}$

14.

$(1,e)$

15.

$x$-axeln

1.

Då definitionsmängden är öppen sökes absoluta extrempunkterna bland de kritiska och singulära punkterna.

$$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} -e^x, &x<0\\ e^{-\frac{1}{3}x}(1+x\cdot(-\frac{1}{3})), & x> 0 \end{array}\right.$$

Funktionens minsta värde är $\,0\,$ eftersom $f(0)=0\,$ och $\,f(x)>0,\,x\ne 0.$ Vidare är $\,f'(x)=$
$e^{-\frac{1}{3}x}(1+x\cdot(-\frac{1}{3}))=0$ omm $x=3.$ Detta är enda kritiska punkten. Då $\,f\,$ är kontinuerlig och $\lim_{x\to -\infty}f(x)=1,$ $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$ så är $f(3)=\frac{3}{e}>1$ absolut maximum (Adam's Gift).

2.

$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\ln\vert x\vert}{x}=\lim_{x\to 0}x\ln\vert x\vert=0,$ dvs funktionen har horisontell tangent i origo. Eftersom $\,f(x)<0\,$ i en omgivning av origo är origo en lokal maximipunkt. Det är inte ett största värde ty funktionen antar positiva värden för stora $\,x.$ $\,f'(x)=2x\ln\vert x\vert+x^2\cdot\frac{1}{x}=x(2\ln \vert x\vert+1)=x(\ln x^2+1).$ $\,f'(x)=0,\,x\ne 0\,$ omm $\,x=\pm \frac{1}{\sqrt{e}}.$ Eftersom $\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=+\infty \,$ är dessa punkter absoluta minimipunkter (Adam's Gift).

Till tentan

Tillbaka till Analys MN1