$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} Övningstentamen 2\\ Analys MN1\\ 1999-12-17 \end{flushright}}$

Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Skrivtid: .
Maximal poäng på varje problem är 5. För godkänt krävs 18 poäng och för väl godkänt 28 poäng.

1.

Beräkna

$$\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(2x)-2x\cos x}{x^2\ln(1+2x)}\,.$$

2.

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen

$$y''+4y=e^{-2x}\,.$$

3.

Beräkna integralerna

$$a) \quad\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{\cos^5x}\,dx \qquad\qquad\qquad b)\quad \int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx.$$

4.

Bestäm största möjliga arean för triangeln $\,ABC,$ rätvinklig vid $\,B,$ om $\,A=(0,0),$
$\,C\,$ ligger på kurvan $\,y=xe^{-x},\,$ $\,B=(x,0)\,$ ligger på $\,x$-axeln och $\,0<x<\infty.$

5.

Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då området

$$0\le y \le \arctan x, \,\,0\le x\le 1$$

roterar kring $\,y$-axeln.

6.

Bestäm den lösning till differentialekvationen

$$y'+\frac{2x}{1+x^2}y=\frac{1}{(1+x^2)^2}$$

för vilken $\,y(0)=0.$

7.

Visa olikheten

$$\,\ln x \le \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}},\quad x\ge 1.$$

8.

Serien $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\,$ är konvergent och $\,a_n>0\,$ för alla $\,n\ge 1.$

a) Visa att det finns ett tal $\,N\,$ sådant att $\,\sin a_n>0\,$ för alla $\,n\ge N.$

b) Visa att serien $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin a_n\,$ är konvergent.

Till svar

Till svar och anvisningar

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Analys MN1