$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} Övningstentamen 3\\ Analys MN1\\ 1999-12-17 \end{flushright}}$

Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.
Maximal poäng på varje problem är 5. För godkänt krävs 18 poäng och för väl godkänt 28 poäng.

1.

Beräkna

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-2x\cos x}{x^2\ln(1-3x)}\,.$$

2.

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen

$$y''-4y=e^{2x}\,.$$

3.

Beräkna integralerna

$$a)\quad\int_0^{\infty} \frac{x\arctan x^2}{1+x^4}\,dx \qquad\qquad\qquad b)\quad \int_0^{\sqrt{e}} x\ln x^2\,dx.$$

4.

Triangeln $\,ABC\,$ är rätvinklig vid $\,B.$ $\,A=(0,0),$ $\,C\,$ ligger på kurvan $\,y=x(x-1)(x-2),$ $\,B=(x,0)\,$ ligger på $\,x$-axeln. Bestäm $\,x\,$ så att triangeln får maximal area då $\,0<x<1.$ Motivera noggrant.

5.

Skissera kurvan

$$y=\frac{(x-2)e^{-x}}{x-1}\,.$$

Bestäm speciellt definitionsområdet samt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter.

6.

Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då området

$$0\le y \le \tan x^2, \,\,0\le x\le \sqrt{\frac{\pi}{4}}$$

roterar kring $\,y$-axeln.

7.

Undersök för vilka värden på det reella talet $\,a\,$ som serien

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^a\sin\frac{1}{n^2}$$

är konvergent. Motivera noggrant.

8.

Visa att funktionen $\,f: R\to R,\,$ där

$$f(x)=x^2\vert x\vert\,, \qquad -\infty<x<\infty$$

är två gånger deriverbar men inte tre gånger deriverbar i origo.

Till svar

Till svar och anvisningar

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Analys MN1