Är du extra intresserad av matematik? Så intresserad att du tror att du kan klara av mer än de vanliga kurserna under den första terminen? Vill du dessutom veta hur forskning inom de matematiska ämnena går till? Det handlar då inte bara om det som man vanligen kallar matematik, utan även om matematisk logik, matematisk statistik, datoriserad bildbehandling och beräkningsvetenskap, speciellt numerisk analys. I så fall är kanske specialkursen något för dig.
Syften
Denna kurs har tre
syften:
* för det första att ge
studenterna tillfälle att inhämta fördjupade kunskaper i matematik i
anslutning till den första terminens studier, dvs. i algebra och
kombinatorik, matematisk analys samt lineär algebra;
* för det andra att studenterna förvärvar kännedom
om informationssökning och biblioteksresurser inom de matematiska
vetenskaperna;
* för det tredje
att studenterna får möjlighet att samverka med aktiva forskare inom de
matematiska vetenskaperna och därigenom förvärva kännedom om
forskningsprocessen och om samhälleliga aspekter av matematisk
forskning.
Observera att denna kurs inte ersätter någon annan. Den är ett supplement till annan undervisning och ger också fem extra poäng. Meningen är att du skall läsa de vanliga kurserna och följa deras undervisning. Men du får genom denna kurs något extra. Du får möjlighet till fördjupade kunskaper och du får tillfälle att träffa forskare och lära dig om forskningsprocessen. Inblickar som du kommer att ha glädje av i dina fortsatta studier.
Första mötet ägde rum 2005-09-30 08:15–10:00.
Kursens innehåll
* Kardinaltal, kombinatorik, algebra, lineär
algebra, differentialkalkyl och integralkalkyl i en variabel. Något om
topologi, grupper och andra strukturer.
* Informationssökning lokalt och globalt.
* Intervjuer och samtal med
forskare inom någon av de matematiska vetenskaperna. Dessa skall
redovisas såväl muntligt som skriftligt.
Särskild behörighet
Sb
E.2.1 med generell dispens från krav på Fy B och Kemi A. Kursen är
avsedd för nybörjare på Naturvetarprogrammet, Fristående kurs eller
något civilingenjörsprogram eller högskoleingenjörsprogram.
Examinationsform
Muntlig
och skriftlig redovisning av uppgifter som delades ut under kursens
gång.
Kursplan
Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden har fastställt en kursplan. Kursens kod är 1MA137.
Kompendium
Skriftligt
material i form av ett kompendium med
övningar har delats ut.
Möten
Dagarna för kursens
möten framgår nedan. (Varje möte var två lektionstimmar.) Lokalen
var för det mesta sal MIC 6111.
1. 2005-09-30. Första mötet. Introduktion. Kursens syfte och uppläggning. Avbildningar. Kardinaltal. När har två mängder lika många element? När har en mängd högst lika många element som en annan? Aritmetik för det minsta oändliga kardinaltalet, alef-noll: alef-noll + alef-noll = alef-noll·alef-noll = alef-noll.
2. 2005-10-06. Mer om kardinaltalens aritmetik. Två upphöjt till alef-noll är inte lika med alef-noll. Gaussiska primtal: 2 är inte ett gaussiskt primtal, medan 3 är det. Divisionsalgoritmen i Z och i Z[i]. Unik primtalsuppdelning som konsekvens av detta.
3. 2005-10-11 13:15–15:00. Felix Bernsteins sats bevisas av Sam Thelin. Forsättning om gaussiska primtal. En första början på digital geometri.
4. 2005-10-18. Digital geometri. Formbeskrivningsproblemet. Jordans kurvsats i det euklidiska planet. Khalimskys topologi på Z och Z2. Jordans kurvsats i det digitala fallet.
5. 2005-10-28. Visning av Beurlingbiblioteket. Bibliotekarierna Ingrid Löfgren och Caroline Myrberg demonstrerar Beurlingbibliotekets resurser.
6. 2005-11-01. Gästföreläsning av docent Ingela Nyström: Hur kan man mäta omkrets och area i digitala bilder? Öppna mängder på Khalimskys linje. Seidon Alsaody löser uppgift 3.2.
7. 2005-11-09. Hur söker man information på den världsvida väven? Bibliotekarie Caroline Myrberg demonstrerar de många resurser som finns. (För ena halvan av gruppen.)
8. 2005-11-10. Mer om topologi och digital geometri. Johan Nysjö löser uppgift 3.3. Uppgifterna 3.4–3.9 diskuteras.
9. 2005-11-11. Gästföreläsning av professor Anders Heyden, Malmö högskola: Automatisk segmentering av digitala bilder med hjälp av variationsmetoder, level-sets och aktiva konturer.
10. 2005-11-14. Gästföreläsning av docent Johan Tysk: Brownsk rörelse och finansiell matematik.
11. 2005-11-16. Hur söker man information på den världsvida väven? Bibliotekarie Caroline Myrberg demonstrerar de många resurser som finns. (För andra halvan av gruppen.)
12. 2005-11-17. Gästföreläsning av docent Warwick Tucker: Intervallanalys. Något om de abelska grupperna Zm.
13. 2005-11-18. Axiomen för abelska grupper. Axiomen för grupper. Den minsta icke-abelska gruppen är gruppen S3 av alla permutationer av tre element. Härledning av dess multiplikationstabell. Beräkning av dess grad av icke-kommutativitet.
14. 2005-11-23. Ord bildade av ett ändligt alfabet. Synonymer i ett sådant språk. Gruppen S3 som bildad av orden i alfabetet {a, b}, där vissa ord identifieras med hjälp av en synonymordbok.
Conways trasselgrupp genererad av två operationer S och V som arbetar på ett par av rep. Gruppen representeras av de rationella talen Q, till vilka man har lagt en oändlighet och på vilka två funktioner opererar: s(x) = –1/x och v(x) = x + 1. Praktiska övningar med ett par av rep.
15. 2005-11-28. Fortsatta övningar med ett par av rep. Dessa övningar leder till ett bevis av sats 7.3 i kompendiet: man kan komma till 0 från ett godtyckligt rationellt tal medelst ändligt många tillämpningar av s och v. Hur kan man uppskatta antalet operationer från täljaren och nämnaren i det rationella talet?
En första diskussion av dimensionsbegreppet. Kvadrater, kuber, tesserakter. Om man slår sönder en figur i N bitar i skalan s, så blir antalet bitar N = s–d, där d är dimensionen.
Hur många 0-dimensionella hörn, 1-dimensionella kanter, 2-dimensionella sidoytor och 3-dimensionella sidokuber har en tesserakt?
16. 2005-11-30. Hur många hörn, kanter, osv. har en femdimensionell kub? Seidon Alsaody svarar på frågan, och ger en formel för antalet s-dimensionella sidoytor in en n-dimensionell kub: det är 2n–sn!/(s!(n–s)!).
Hur skall man åskådliggöra kuber och andra figurer i höga dimensioner?
Mängder med icke heltalig dimension. Helge von Kochs snöflingekurva. Cantormängden. Fraktaler.
17. 2005-12-02 . Seidon Alsaody löser Johan Tysks problem om det förväntade värdet av fjärdepotensen hos brownsk rörelse. Samma problem för en allmän jämn potens av en brownsk rörelse, liksom e upphöjt till en brownsk rörelse.
Ett problem om en halvgrupp, kallad K3, med tre generatorer a, b, c som är idempotenta och uppfyller aba = bab = ab, aca = cac = ac och bcb = cbc = bc. Hur många element har halvgruppen? Visa att abc är en nolla, dvs. att xabc = abcx = abc för alla ord x. Hur många element får man om regeln aca = cac = ac ersätts med aca = cac = ca? Samma frågor om man har fyra bokstäver. [Okänt.]
Volymen hos klot och arean hos sfärer, och hur man beräknar dem.
18. 2005-12-05. Seidon Alsaody löser problemet om halvgruppen K3. Förklaring till hur halvgruppen uppstått i konvexitetsteori.
Vad är det för fel på funktioner? Några svårigheter inom analysen och hur man övervinner dem (inledning).
19. 2005-12-06. Vad är det för fel på funktioner? Några svårigheter inom analysen och hur man övervinner dem (fortsättning). Svårigheter som presenteras är (1) att man inte alltid kan återvinna en funktion från dess derivata om den inte är kontinuerligt deriverbar; (2) att blandade andraderivator inte alltid är lika; (3) att gränsvärdet av en följd av lösningar till vågekvationen inte alltid är en klassisk lösning. En lösning är att betrakta verkan av en funktion på suddiga punkter i stället för på vanliga (skarpa) punkter.
20. 2005-12-08. Seidon Alsaody rapporterar om Michael Melgaards forskning om partiella differentialekvationer, speciellt Schrödingerekvationen. Fredrik Nysjö och Johan Nysjö rapporterar om Warwick Tuckers forskning om dynamiska system och kaosteori.
21. 2005-12-20. Sara Kjellberg och Samuel Wrååk rapporterar om Sven Erick Alms forskning om perkolation. Robin Brostedt rapporterar om Viggo Stoltenberg-Hansens forskning om beräkningsbara funktioner. Alireza Hosseini Shabestari rapporterar om Pierre Bäcklunds och Helen Avelins forskning om hyperbolisk geometri.
Kursen är nu avslutad. Tjugosju studenter har deltagit i hela kursen eller delar av den. Sju har gjort muntliga presentationer av olika forskningsområden; se ovan. Av dessa har fem även lämnat in en skriftlig redogörelse och är godkända på kursen.
Christer