Endimensionell analys

Innehåll

Inom endimensionell analys hjälper det oändligt lilla och det oändligt stora att lösa problem på ändlig skala. Då svensk gymnasieskola kommer jämförelsevis långt inom analysen, är stora delar av kursen en fördjupning av begrepp som redan studerats, såsom reellt tal, derivata och integral, men med en djupare förståelse av dessa.

Delmoment

Reella tal: Tallinjen, och hur vi beskriver sammanhängande delar av tallinjen.
Så länge den har nog näring, tillväxer en bakteriepopulation exponentiellt. Vad som menas med detta diskuteras analysen.

Så länge den har nog näring, tillväxer en bakteriepopulation exponentiellt. Vad som menas med detta diskuteras analysen.

Funktioner av en reell variabel: I denna del studeras begreppet funktion, som återkommer under hela universitetsmatematiken. Vidare undersöker man vissa vanliga funktioner, såsom sinus- och exponentialfunktionerna. Exponentiell tillväxt beskriver exempelvis bakteriepopulationer under vissa förutsättningar och sinusfunktioner stöter man på exempelvis i växelström, som går genom elnätet.

Gränsvärde, kontinuitet, derivata, medelvärdessatsen: För att kunna undersöka hur någonting ändrar sig vid ett specifikt tillfälle inför man begreppet derivata, som Utan analys hade Newton inte kunnat beskriva mekaniken, vilket ledde till den fysik som finns idag.

Utan analys hade Newton inte kunnat beskriva mekaniken, vilket ledde till den fysik som finns idag.

kan beskrivas som medelhastigheten under en oändligt kort tid. Att dividera med noll leder ofta till nonsens, varför man istället inför gränsvärden, där man går oändligt nära något utan att nå det. Betydelsen av differential- och integralkalkylen kan inte överskattas. Ett ämne som utvecklats ur denna teori är exempelvis fysik.

Primitiv funktion och Riemannintegral: Motsatsen till att derivatan är integralen, och i detta avsnitt undersöker vi hur integralen kan definieras. Den grundläggande idén är att med en matematisk beskrivning kan man i vissa fall undersöka ett område bara genom att studera områdets kant.

Ordinära differentialekvationer: Differentialekvationer beskriver objekt som förändrar sig, exempelvis över tid eller över rummet. Här gäller det de mest grundläggande differentialekvationerna. Tillämpningar hittas inom ett otal områden såsom fysik, kemi, biologi, meterologi och medicin.

Tillämpningar

Delar av denna kurs hittas i tillämpningar från alla delar av vetenskapen, och en stor del av den teknik som vi idag har vore otänkbar utan analysen. Ett område som tycks växa är finansiell matematik, där stokastiska differentialekvationer beskriver finansmarknader. Likaså finns tillämpningar inom fysikens alla delar, såsom flödesdynamik, astronomi och kvantmekanik. Även biologiska, kemiska och medicinska modeller kan ofta formuleras i termer av differentialekvationer.

I korthet:

Kursnamn: Endimensionell analys, Analys MN1.
Kräver: Antagen till programmet räcker, formellt Standardbehörighet E3
Krävs för: Elektromagnetism, Mekanik I, Beräkningsvetenskap I, dessutom för så gott som alla senare matematikkurser och alltför många kurser för att nämna här.
Kursplaner hittas även härifrån.