Populärbeskrivningar av matematikkurser
Flödesschema
Grundläggande algebra
Endimensionell analys
Linjär algebra
Flerdimensionell analys
Fouriermetoder/
  Transformmetoder
Ordinära Differentialekv.
Sannolikhetslära och
  Statistik
Komplex analys

Ordinära differentialekvationer

Innehåll

Ordinära differentialekvationer beskriver vissa typer av system, där man känner till hur någonting ändrar sig beroende på någonting annat. Ett exempel är system som ändrar sig med tiden, men även hur elektriska fält fördelar sig i rymden beskrivs med denna typ av modell.

Delmoment

Existens och entydighet av lösningar, beroende av begynnelsedata: Här undersöker man vad som är avgörande för om en differentialekvation kan lösas med ett resultat, och om flera olika är möjliga. Exempel på när detta är viktigt är i samtliga tillämpningar av differentialekvationer: Att en modell av en kemisk process, som berättar att ingen serie av delprocesser leder till den önskade slutprodukten, är naturligtvis intressant för konstruktören. Likaså blir det intressant om vi kan se att flera vägar är möjliga att ta.

Lösbara typer av differentialekvationer, integrerande faktor: I denna del av kursen studerar vi de mest typiska ordinära differentialekvationer som kan lösas med standardmetoder.

Variation av konstanter, Wronskideterminanten: här undersöker vi hur man kan kombinera lösningar till en differentialekvation för att få nya lösningar, och vad som skall gälla för att detta skall vara tillåtet.

Linjära system, fundamentalmatris, matrisexponential: Här tittar man vidare på vad som händer när man tar linjära system, dvs. när flera beskrivningar av hur någon variabel förändrar sig i tiden är kopplade. Man kan hitta sådana modeller inom fysiken, men även inom kemin: Om halten av ett ämne avgör hur snabbt ett annat bildas och förbrukar det första, räcker ibland inte en endimensionell beskrivning. För att se hur halterna utvecklas beroende på tiden, vill vi lösa det linjära system som beskriver sambanden.

Icke-linjära system, fasrum, kritiska
punkter, stabilitet och asymptotisk stabilitet, linearisering, Lyapunovfunktioner: I vissa fall räcker inte den linjära beskrivningen av system, där en förändringshastighet är en linjärkombinaiton av de ingående variablerna. Exempel på när detta händer i exemplet ovan är när vi skall undersöka system, som har en jämvikt där någon halt är skild från noll. Fasrum, kritiska punkter och lyapunovexponenter är sätt att beskriva jämviktstillstånd och dess motsatser matematiskt: Varifrån och vart strävar systemet, och hur snabbt?

Tillämpningar

Teorin för differentialekvationer utgör kärnan i många vetenskapliga teorier. Ett axplock är populationsdynamik, finansiell matematik, och värmeledning och kvantmekanik. Ordinära differentialekvationer är ett intressant specialfall, och utgör därmed grunden för flertalet beskrivningar.

I korthet: