Komplex analys

Innehåll

I den komplexa analysen undersöker man hur Vilken väg integrerar vi utmed? Enkelt i rella fallet, kräver behandling i komplex analys.

endimensionell analys kan utvidgas till det komplexa talplanet. Problem uppstår delvis för att medan man bara kan ta en väg mellan punkter medan man håller sig i tallinjen, medan i det komplexa talplanet, behöver man också specifiera väg. Vilka funktioner är "snälla" nog för att kunna integreras?

Delmoment

Något om komplexa tal, topologi i C, gränsvärde och kontinuitet: här tittar man på det komplexa talplanet, och dels repeterar räkneregler från algebran, men tar också itu med begrepp som vad "nära" betyder bland komplexa tal.
En stämgaffel bildar övertoner. Komplex analys är viktig för att djupare förståelse av fourieranalysen, som beskriver många intressanta funktioner med hjälp av övertoner.

En stämgaffel bildar övertoner. Komplex analys är viktig för att djupare förståelse av fourieranalysen, som beskriver många intressanta funktioner med hjälp av övertoner.

Analytiska och harmoniska funktioner: Det visar sig, att bara en viss klass av funktioner beter sig nog "snällt" i det komplexa talplanet för att vara intressanta i den komplexa analysen. Här tittar vi på vilka, och varför just dessa är intressanta.

Komplex integration. Cauchys integralsats ochb integralformel med konsekvenser: Hur kan vi integrera i det komplexa talplanet? Enligt figuren ovan är det inte så enkelt som i det reella fallet. Användbar är dock integralen i exempelvis fourieranalys.

Potensserier. Något om likformig konvergens och analyticitet: Taylorutveckling är ett användbart redskap i det reella fallet. Här undersöker vi hur man kan göra motsvarande med komplexa funktioner.

Laurentserier med tillämpningar. Nollställen och isolerade singulariteter. Residuekalkyl med tillämpningar. Argumentprincipen och Rouches sats: Här knyter man ihop begreppen från resten av kursen, arbetar vidare med den komplexa integralen och

Tillämpningar

En viktig tillämpning av den komplexa analysen är kvantmekanik, där komplexvärda vågfunktioner är ett viktigt element. Fourieranalys kan genomföras utan komplex analys, men vissa formler kan inte förstås utan definitioner härifrån.

I korthet:

Kursnamn: Komplex analys, Komplex analys MN1.
Kräver: Grundläggande algebra, Flerdimensionell analys, Ordinära differentialekvationer och Transformmetoder
Krävs för: Funktionalanalys, Plasmafysik med flera.
Kursplaner hittas även härifrån.